Thuyết tương đối hẹp của einstein

      7

Ai trong họ đi lắp thêm bay, sau thời điểm máy đã vút lên cao để cất cánh đều đều, mà hoàn toàn có thể cảm thấy mình dịch rời với gia tốc khoảng nghìn cây số vào một giờ?


Hơn bốn trăm năm trước đây Galileo Galilei cũng chỉ dẫn một lấy ví dụ tương tự mở màn cho nguyên tắc tương đối với tên ông: vào hầm bí mật của một chiếc tàu thủy di chuyển thẳng và đầy đủ đặn (vectơ tốc độ cố định, không đổi khác với thời gian), ta hãy quan ngay cạnh những bé bướm cất cánh và hồ hết giọt nước tí bóc tách rơi. Ni tàu đứng yên, cách thức bướm cất cánh và nước rơi vẫn như khi tàu di chuyển, chẳng gồm gì cố đổi. Rồi tàu lại di chuyển nhưng với tốc độ và chiều hướng cố định và thắt chặt khác, bướm vẫn cất cánh và nước vẫn rơi giống hệt như trước. Nói cách khác: hầu như định quy định vật lý diễn tả sự quản lý của những hiện tượng tự nhiên (bướm bay, nước rơi) không vậy đổi bên trên tàu dịch rời thẳng và đều, tất cả tàu dừng chân tại bến. Người ở vào tàu ví như chỉ quan liêu sát đo lường những hiện tượng kỳ lạ trong tàu mà không tiếp xúc với phía bên ngoài để so sánh thì không vấn đề gì biết là tàu đứng xuất xắc đi, cùng đi với tốc độ nào, khunh hướng nào. Nói cách khác, di động các đặn chỉ cần chuyện tương đối, chẳng sao tách biệt bến xuất xắc tàu cái nào đứng yên, cái nào chuyển vận.

Nguyên lý tương đối được Galilei bắt tắt trong một câu gọn nhẹ ‘’di gửi đều đặn cũng giống như không’’, ngụ ý là định điều khoản cơ học không biến đổi dạng trong những hệ quy chiếu cửa hàng tính1, lấy một ví dụ của nhị hệ quy chiếu quán tính: K bất động đậy còn K’ dịch chuyển đều đặn so với K. Vì vận động của một đồ dùng (kể cả ánh sáng) là sự thay đổi vị trí không gian của đồ vật đó theo thời gian, yêu cầu ta call tọa độ của nhiều tạp không- thời gian bốn chiều vào K là x, y, z, t (toạ độ của không khí ba chiều là x, y, z cùng của thời hạn là t) còn toạ độ trong K’ là x’, y’, z’, t’. Đa tạp đó có tung độ là trục thời hạn t, còn hoành độ là không gian ba chiều với 3 trục Ox, Oy, Oz. Phương trình diễn đạt sự quản lý và vận hành của cùng một sự kiện thiết bị lý vào K K’ đều sở hữu chung một dạng: f(x, y, z, t) = f (x’, y’, z’, t’), hàm số f chỉ định một định cơ chế vật lý nào đó.

Bạn đang xem: Thuyết tương đối hẹp của einstein

Khi nguyên lý này áp dụng cho hiện tượng lạ điện-từ để diễn tả vận tốc tia nắng c không biến đổi trong đều hệ quy chiếu quán tính thì hàm f(x, y, z, t) có dạng x² + y² + z² – (ct)². Bất kỳ lúc nào và nơi đâu cũng vĩnh cửu một đại lượng s²≡ x² + y² + z² – (ct)² không bao giờ thay đổi và = 0 bởi c = r/t cùng với r² = x² + y² + z².

Đồ thị của phương trình s² ≡ x² + y² + z² – (ct)² trong nhiều tạp tư chiều không-thời gian là một cái nón ánh sáng2 (light cone) và biểu thức x² + y² + z² – (ct)² nhập vai trò rất là quan trọng vào sự tìm hiểu thuyết tương đối hẹp và rộng như ta sẽ thấy.

I- Không đề nghị ether để truyền đi sóng điện-từ

Khởi đầu là một hiện tượng nhưng Albert Michelson với Edward Morley phát hiện nay năm 1887, nó trái ngược với trực giác với định kiến của mọi fan trước năm kỳ diệu 1905 (năm Albert Einstein trí tuệ sáng tạo ra thuyết tương đối hẹp). Như sóng nước cùng sóng music theo vật dụng tự là dạng dao động tuần trả của nước với của ko khí, những một số loại sóng đó buộc phải nước và đề nghị không khí nhằm truyền đi. Do vậy định kiến ăn vào tâm khảm mọi người thời đó nhận định rằng phải gồm một làm từ chất liệu gọi là ether nhằm nhờ đó sóng tia nắng dao động, không có ai tin là sóng điện-từ rất có thể truyền trong chân không, chẳng yêu cầu môi trường cấu tạo từ chất nào. Vì ánh nắng đến với ta từ các thiên thể xa xăm, ether phải trải rộng tràn trề khắp vũ trụ ko gian, đâu với lúc nào cũng có, vậy nên ether được coi là một hệ quy chiếu hoàn hảo bất động. Ni ta hãy ráng bến bởi ether và tàu bởi trái đất di động cầm tay trong ether.

Lấy trường hợp gia tốc v tuy vậy song cùng chiều cùng với trục Ox như một thí dụ rõ ràng của nhị hệ quy chiếu tiệm tính dễ dàng và đơn giản nhất là J (bến) với J‘ (tàu). Theo cơ học cổ điển của Isaac Newton, nếu tốc độ ánh sáng sủa đo trên bến là c thì tín đồ đứng bên trên bến đã nghĩ rằng gia tốc ánh sáng phạt ra ngơi nghỉ trên tàu nên là c ± v (luật cộng trừ vận tốc) phụ thuộc vào ánh sáng chạy tuy vậy song thuộc chiều giỏi ngược chiều với tàu. Cũng vậy, bạn trên tàu lúc đo vận tốc ánh sáng cũng biến thành thấy gia tốc đó phải khác tốc độ ánh sáng sủa truyền đi trên bến, sự biệt lập đó sẽ đến ta v. Michelson và Morley tra cứu kiếm tốc độ của làn gió ether thổi so với trái khu đất coi như đứng yên bằng phương pháp đo lường sự khác hoàn toàn khoảng biện pháp mà ánh nắng truyền đi theo hai chiều thẳng góc cùng nhau (song song với v và thẳng góc cùng với nó như một lấy một ví dụ điển hình). Khoảng chừng cách khác hoàn toàn đó, ví như có, sẽ được phát hiện nay bằng hiện tượng kỳ lạ giao trét ánh sáng, tuy nhiên sau bao lần tìm kiếm kiếm nhì vị chẳng thấy chút khác biệt nào với như vậy vận tốc ánh sáng sủa không biến hóa trong ngẫu nhiên chiều hướng nào nó phát ra bên trên trái đất, vì thế chẳng sao phát hiện nay nổi sự hiện hữu của ether.

Dùng hiệu quả thực nghiệm này, Einstein bèn đồng ý nguyên lý tương đối áp dụng cho hiện tượng lạ điện-từ như 1 tiền đề, theo đó vận tốc ánh sáng sủa c (khoảng 300 nghìn km/s) khi nào cũng cân nhau trong toàn bộ các hệ quy chiếu cửa hàng tính, bởi vậy giả thuyết gia công bằng chất liệu ether tràn trề vũ trụ không cần thiết nữa. Sử dụng tiền đề này, ông suy diễn phần đa hệ quả và đề xuất tương tự như tiên đoán phần đông hiện tượng điều hành và kiểm soát đo lường được. Tiếp cận cách tân như vậy khởi đầu từ Galilei – trong đó suy luận, phê phán bằng lý tính cùng kiểm chứng bằng thực nghiệm nhập vai trò chủ yếu – là bài xích học sâu sát cho hậu gắng và thường xuyên làm mục tiêu cho tiến trình nghiên cứu sáng tạo thành của khoa học ngày nay. Phương pháp giải đáp của Einstein không giống hẳn cách thức của Hendrik Lorentz cùng Henri Poincaré vày hai vị (và các nhà đồ dùng lý khác) đều khuyến cáo một vài đưa thuyết về lực tác động lên cách quản lý của vật hóa học để tra cứu cách minh chứng ngược lại là hiện tượng kỳ lạ điện-từ tuân thủ nguyên lý tương đối.

Tuy hai bí quyết tiếp cận trái ngược chiều nhau nhưng đều có chung một phương trình để mô tả vận tốc ánh nắng c trong nhị hệ quy chiếu cửa hàng tính K cùng K‘ đề xuất như nhau, c = r/t = r’/t’ cùng với r² = x² + y² + z², r’² = x’² + y’² + z’²: s² ≡ x² + y² + z² – (ct)² = x’² + y’² + z’² – (ct’)² .

Các tọa độ tư chiều (x, y, z, t) cùng (x’, y‘, z’, t’) của nhì hệ quy chiếu yêu cầu liên kết, hoán chuyển giữa chúng với nhau ra sao để làm thế nào cho đại lượng s² không nuốm đổi, tuyệt bất biến.

II- Hoán gửi Lorentz của không-thời gian với Cơ học tương đối tính

Trong ngôi trường hợp gia tốc v tuy nhiên song thuộc chiều với trục Ox của 2 hệ quy chiếu J J ‘ nói bên trên thì đẳng thức bất biến s² thu nhỏ nhắn thành s² ≡ x² – (ct)² = x’² – (ct’)² vì chưng y = y’ và z = z’. Nếu như x² + (ct)² = x’² + (ct’)² (dấu cộng nắm dấu trừ trong s²) thì sự hoán chuyển các tọa độ (x, ct) để thành (x’, ct’) sẽ là phép quay các tọa độ (x, ct) một góc φ: x’ = x cosφ – (ct) sinφ; (ct’) = (ct) cosφ + x sinφ

Tính toán cho thấy tanj đó là v/c. Thực ráng một quan sát viên đứng sống điểm x’ = 0 chẳng hạn cho ta: x’ = x cosφ – (ct) sinφ = 0→ x/ct º v/c = tanφ.

Sự đổi khác dấu (+ ↔ -) vào s² dẫn đến chuyển đổi lượng giác hyperbolicφ ↔ iφ (i2 = – 1)

cosφ ↔ chφ, sinφ ↔ shφ ↔, cos2φ ↔ + sin2φ = 1↔ ch2φ- sh2φ = 1

1 + tan2φ = 1/cos2φ ↔ 1 – th2φ = 1/ch2φ.

Để mang đến x² – (ct)² = x’² – (ct’)² thì sự hoán đưa giữa các tọa độ (x’, ct’) với (x, ct) vẫn là:

x’ = x chφ – (ct) shφ

(ct’) = (ct) chφ – x shφ;

với thφ = v/c. điện thoại tư vấn β ≡ v/c và γ≡ 1 ⁄ √1− β2, ta có: x’ = γ (x – vt) (I)

ct’ = γ (ct – βx) tốt t’ = γ (t = xv/c2).

Ngược lại, hệ quy chiếu J chạy với tốc độ – v so với hệ quy chiếu J ‘ và vì thế ta có: |

x = γ (x’ + vt’) (I’)

ct = γ (ct’ + bx’) giỏi t = γ (t’ + x’v/c2).

Sự hoán chuyển không gian và thời gian hỗn hòa hợp nhau bởi vậy trong bí quyết trên thường được hotline là phép hoán chuyển Lorentzii 3 quánh biệt. Dùng phép hoán chuyển này, ta kiểm chứng thuận lợi là khi x = ct thì tự động hóa ta cũng có thể có x’ = ct’ kèm theo, tốc độ ánh sáng sủa – đo lường trong những hệ quy chiếu quán tính di chuyển với ngẫu nhiên vectơ vận tốc cố định và thắt chặt v làm sao – đều giống hệt nhau và bằng c.

Cũng trong hai hệ quy chiếu J cùng J’ này, cơ học truyền thống (với thời gian phổ quát tháo t’ = t và không khí chẳng mảy may contact với thời gian) đến ta x’ = x – vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t. Do vậy thì x² + y² + z² – (ct)² ≠ x’² + y’² + z’² – (ct’)², vế phải phụ thuộc vào v và s² không bất biến. Điều này làm choáng váng bao công ty khoa học vày không sao lý giải nổi sự mâu thuẫn giữa định hướng (cơ học cổ điển) và thực nghiệm (Michelson và Morley).

Einstein xử lý mâu thuẫn trên như thế nào? câu hỏi đầu tiên ông đặt ra là sự láo hợp không khí với thời hạn của mấy phương trình hoán đưa Lorentz có ý nghĩa sâu sắc vật lý gì tốt chỉ là 1 trong hiếu kỳ toán học? thứ 1 ông nhấn xét là tính đồng thời của hai (hay nhiều) sự khiếu nại phải dựa vào vào hệ quy chiếu, điều nhưng cơ học cổ điển Newton bỏ qua mất không xét kỹ. Thực thay nếu định nghĩa tính đôi khi ở nhì điểm cách nhau chừng A với B bên trên trục Ox là tín hiệu ánh nắng phát ra từ A với từ B phải đi cho tới trung điểm M của AB và một lúc, ta thấy ngay chiếc đồng thời của sự kiện xẩy ra ở M (ngồi trên bến) buộc phải khác dòng đồng thời xẩy ra ở trên tàu (chạy với vận tốc v tuy vậy song cùng với AB). Thực gắng tín hiệu ánh nắng phát ra từ bỏ B để tới M (nay ngồi trên tàu) bắt buộc đến trước tín hiệu ánh nắng phát ra từ bỏ A bởi vì ánh sáng chạy theo B và quăng quật lại A đằng sau. Vì tốc độ ánh sáng c tuy rất cao nhưng không vô hạn, nó cần thời hạn ¹ 0 nhằm gửi tín hiệu nên cái đồng thời của fan đứng yên yêu cầu khác dòng đồng thời của người di động. Khi phân tích tinh tướng khái niệm về thời gian, Einstein nhận biết vai trò cực kỳ quan trọng của nó trong cách xử lý mâu thuẫn.

Thêm bước nữa, sáng tạo rất dị của Einstein là ông dìm thức rằng luật cộng trừ tốc độ trong cơ học Newton thực chất chỉ là 1 trong định kiến vị nó dựa vào một giả thuyết chưa khi nào được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Mang thuyết đó cho rằng một mét chiều dài với một giây đồng hồ thời trang đo trên tàu cũng bằng một mét cùng một giây đo trên bến. Trước Einstein, chẳng ai đặt câu hỏi là so với những vật hoạt động thì thước đo độ dài không gian và tiết điệu tích tắc của đồng hồ đếm thời hạn có biến đổi hay không, với ông chứng minh là thực sự bọn chúng phải biến đổi ra sao.

Nếu w là vận tốc đo trên tàu của bất kỳ một đồ nào, còn v là tốc độ của tàu chạy đối với bến đứng yên, thì tốc độ của đồ đó đo trên bến là w ± v mà lại cơ học cổ điển đương nhiên chấp nhận. Einstein phân biệt luật này chỉ ngay gần đúng và ông search ra công thức (w ± v)/(1 ± wv/c2) sửa chữa thay thế nó4. Khi trang bị đó là ánh sáng (w = c), kỳ thú nắm (c ± v)/(1 ± cv/c2) không tùy ở trong vào v nữa mà lúc nào thì cũng bằng c, lý giải thoả đáng thực nghiệm Michelson và Morley. Dù bay nhanh mang đến đâu chăng nữa, thậm chí còn v = 99,99% c, ta vẫn không sao đuổi kịp ánh sáng vị nó vẫn chạy xa ta với tốc độ c như khi ta đứng yên!

Điểm chủ chốt là Lorentz, Poincaré, Einstein mọi cá nhân mỗi cách không giống nhau đã kiếm tìm ra bí quyết (I) và quan trọng hệ số γ º 1 ⁄ √1− (v² ⁄c²) ≥ 1, chìa khoá mở đường mang lại cơ học kha khá tính5 thay thế cơ học cổ điển. Hoán chuyển toạ độ t’ = t, x’ = x – vt vào cơ học truyền thống chỉ là dạng giao động của phép hoán chuyển không-thời gian t’ = γ (t – xv/c2), x’ = γ(x – vt) vào cơ học kha khá tính lúc v/c « 1 xuất xắc c ↔ ∞, γ ↔ 1. Tuy tất cả các vị đều thấy là phép hoán đưa Lorentz rất có thể đóng vai trò quan trọng nào đó trong cách phân tích và lý giải thực nghiệm Michelson và Morley, tuy thế chỉ riêng Einstein đã thành công vì ông dìm thức được bản chất của thời hạn là không phổ thông mà co dãn, trong khi những vị khác vẫn liên tục suy luận với một thời hạn duy nhất, tuyệt vời của Newton.

Thông điệp bí quyết mạng của Einstein đối với cơ học truyền thống Newton, là chẳng có một thời gian tuyệt vời và nhiều trong một không gian biệt lập với thời gian, bọn chúng mật thiết liên đới, mỗi thời-điểm buộc phải gắn quyện với mỗi không-điểm vào một thực tại tứ chiều sau này gọi là trái đất Minkowski để biểu đạt sự quản lý của những sự kiện trang bị lý, cái lúc nào phải kèm theo mẫu ở đâu. Sảnh khấu của những sự kiện chưa phải là thời gian, cũng không phải là không gian mà là nhiều tạp tích hợp: không-thời gian. Sự thêm bó chặt chẽ thời gian với không khí (qua trái đất bốn chiều Minkowski) để mô tả các sự kiện vật lý đề đạt tính chất nhiều mẫu mã và độc đáo của cơ học kha khá tính. Hermann Minkowski là người đầu tiên năm 1908 đề xuất thế giới tứ chiều bởi vì ông thấu hiểu thực chất gắn quyện thời hạn với không khí của thuyết tương đối mà ngay Einstein năm 1905 cũng chưa nhận biết khi ông gắn ký hiệu i vào thời gian t trong s2 ≡ x2 + y2 + z 2 + (it)2.

Thời gian thậm chí còn còn đóng vai trò thước đo độ lâu năm của không gian, định nghĩa bao gồm thức văn minh của một mét là 1/(299792458) của một giây-ánh sáng. Đơn vị của độ dài không gian như giây-ánh sáng (hay năm-ánh sáng) chỉ định khoảng cách mà ánh sáng dịch chuyển trong một giây (hay một năm). Vân tốc c như vậy đóng sứ mệnh hằng số cơ phiên bản của tự nhiên.

Có muôn ức thời gian, t cùng t’ phần đông chỉ định thời hạn trong nhì hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc khác nhau. Đồng hồ trong những hệ quy chiếu tiệm tính đều phải sở hữu nhịp độ tích tắc cấp tốc chậm không giống nhau, khoảng cách thời gian của từng hệ quy chiếu tùy ở trong vào vận tốc chuyển động của hệ ấy. Nhịp đập thời gian của chúng ta khác của tôi, ngơi nghỉ mỗi điểm không gian lại đính một đồng hồ đeo tay đo thời gian với nhịp điệu tích tắc khác nhau. Sở dĩ bạn và tôi tưởng rằng chúng ta chia sẻ một thời gian phổ quát, chỉ vày cộng nghiệp con fan trong cái không khí quá nhỏ bé của trái khu đất so cùng với vũ trụ, các bạn và tôi đâu tất cả xa nhau gì, tốc độ tương đối giữa họ thấm gì so với vận tốc ánh sáng (v²⁄c² « 1, γ ≈ 1). Không tồn tại mũi tên thời gian lạnh nhạt trôi của trực giác mà lại cơ học cổ xưa Newton quá nhận, không có cái đồng thời rộng rãi và cái bây giờ của sự kiện, chiếc bây giờ chẳng thể khẳng định và duy trì vai trò ưu tiên tính chất nào hết vì liên tục có muôn vàn đỉnh nón ánh sáng (phụ chú 2) trong quả đât Minkowski của các sự kiện, mỗi đỉnh nón là một chiếc bây giờ.

Hơn nữa, không-thời gian với vật chất lại hợp độc nhất như hình với trơn trong vũ trụ co dãn (thuyết kha khá rộng). Đã không tồn tại hiện tại thì nói bỏ ra đến quá khứ và tương lai, đó là ngôn từ triết học ngạc nhiên của thuyết kha khá trong dấn thức về thời gian, cái ‘bây giờ’ chỉ là một trong những ảo tưởng. Mô tả hàm súc độc nhất về dấn thức này có lẽ rằng nằm vào bức thư Einstein nhờ cất hộ cho con trai của Besso6 lúc nghe tới tin bạn mất. Bức thư viết: ‘’Vậy các bạn đã trước tôi một ít giã từ chiếc thế gian quái lạ này. Nhưng dòng đó chẳng nghĩa lý gì. Đối với bọn chúng ta, đông đảo nhà vật lý tất cả xác tín, sự phân làn quá khứ, hiện tại, tương lai chỉ là 1 ảo giác, dẫu nó dằng dai đến vắt nào’’.

III-Vài hệ quả kỳ diệu kiểm bệnh được bởi thực nghiệm.

A- Hệ quả đầu tiên của thuyết kha khá hẹp là khi chuyển động với tốc độ v thì một mét chiều dài không khí và một giây đồng hồ đeo tay của thời gian sẽ cầm cố đổi, khoảng cách độ dài không gian co ngắn lại và thời gian dãn nở ra. Khám phá ra điều cực kỳ quan trọng này do Einstein thấu hiểu chân thành và ý nghĩa vật lý của phương trình hoán chuyển x, t, trong những lúc Lorentz tuy đã và đang thấy không khí co cụm là 1 trong đáp số của phương trình nhưng cho đó chỉ là một trong những hiếu kỳ toán học của phép hoán đưa mà ko có ý nghĩa vật lý làm sao khả dĩ kiểm hội chứng được bởi thực nghiệm. Còn sự dãn nở của thời hạn thì nhất chỉ gồm Einstein mày mò ra.

1- câu hỏi là một mét nhưng mà hai đầu đặt tại hai điểm O‘ và X‘ (toạ độ x’ của J’) thì người quan sát nằm vào J giám sát và đo lường thấy là từng nào ở ngẫu nhiên một thời gian t nào, đặc trưng t = 0. Nói bí quyết khác, khoảng cách OX (tọa độ x của J đứng yên) khác biệt ra sao so với khoảng cách O‘X’ cầm tay với gia tốc v.

Phương trình x’ = γ (x – vt) của (I) với t = 0 đến ta x = x’/γ = x’√(1− v² ⁄c²). Do O’X’chuyển cồn với vận tốc v bắt buộc cái thước OX (đo lường bởi một người quan sát nằm trong J ) bị co ngắn đi bởi thông số 1/γ = √(1− v² ⁄c²) J hoạt động so với J ‘ đứng yên) thì phương trình x = γ (x’ + vt) của (I’) cho kết quả tương tự x’ = x/γ = x√(1− v² ⁄c²), độ dài không khí của vật di động với tốc độ ± v lúc nào cũng bị co ngắn vì chưng 1/γ = √(1− v² ⁄c²). Độ lâu năm không gian dịch rời theo hướng tuy nhiên song với gia tốc v bị co, một mét bên trên tàu chỉ bằng √(1− v² ⁄c²) mét bên trên bến. Ngược lại một mét trên bến bởi √(1− v² ⁄c²) mét trên tàu. Tuy thế độ dài không gian khi di chuyển theo hướng trực tiếp góc với v thì không chuyển đổi trong đa số trường hợp.

2- Cũng vậy, một độ dài thời hạn (toạ độ t’ của J‘ ở bất kỳ không điểm x’ nào) nhưng tính toán bởi một người quan sát nằm vào J chính là độ dài thời hạn (toạ độ t của J ). Thời gian t của hệ quy chiếu không cử động J dài ra hơn nữa gấp γ lần thời gian t’của hệ quy chiếu J ‘ di chuyển với gia tốc v: t = γ t’ = t’/√(1− v² ⁄c²).

Thực thế thời gian t’ hướng đẫn bởi đồng hồ di đụng đặt ở vị trí chính giữa toạ độ O‘ (r’ = 0) mang lại ta ct’ – 0 = (ct)√(1 – r²/t²c²) = (ct)√(1– v²/c²), cho nên vì vậy t = γt’. Một cách chứng minh khác cũng cho công dụng tương tự. Với x’ = 0, phương trình đầu tiên x’ = γ (x- vt) của (I) mang lại ta x = vt. Sửa chữa x bởi vt trong phương trình lắp thêm hai t’ = γ (t – xv/c2) của (I), ta có t’ = t/γ.

Một giây của đồng hồ đeo tay di động bởi γ giây của đồng hồ đứng yên, thời hạn ở bên trên bến dài gấp γ lần thời hạn ở bên trên tàu. So với nhịp độ tích tắc của đồng hồ đeo tay trên bến thì đồng hồ thời trang trên tàu đập đủng đỉnh đi γ lần, nếu đồng hồ thời trang trên bến tất cả nhịp đập mỗi tíc tắc là một trong những giây thì nhịp tíc tắc đồng hồ đeo tay trên tàu là γ giây. Những vật dịch rời càng cấp tốc thì thời hạn của bọn chúng càng trôi chậm, thậm chí thời hạn của tia nắng ngưng ứ như ngừng hoạt động (γ = ∞).

Từ ni ta gọi chung toàn bộ các τ ≡ t/γ là thời gian riêng biệt của hệ quy chiếu hoạt động với vận tốc v, còn t chỉ định thời gian của hệ quy chiếu bất động.

Sự co dãn thời hạn (nhịp độ đồng hồ thời trang đập cấp tốc chậm không giống nhau) của các vật hoạt động với tốc độ lớn đã làm được thực nghiệm kiểm chứng nhiều lần từ trong thời điểm 1970 dùng đồng hồ thời trang nguyên tử đặt lên trên máy bay, hoả tiễn, tiếp diễn bởi biết bao ứng dụng trong thực tế trong đời sống con người mà khối hệ thống Định vị trái đất (Global Positioning System, GPS) là một trong những ví dụ. Trên các vệ tinh của GPS, sự đúng chuẩn cực kỳ của nhịp độ đồng hồ là điều kiện tối đặc biệt cho GPS đo đạc khoảng cách không gian thành công. Trên những vệ tinh đó, thuyết tương đối rộng mang lại ta hệ quả ngược cùng với thuyết kha khá hẹp, thời gian co nhiều lại vì cường độ trọng lực trên vệ tinh sụt giảm so với mặt đất. Dẫu vậy vệ tinh GPS vì hoạt động nhanh so với mặt đất đứng yên nên thời gian trên này cũng dãn nở theo thuyết kha khá hẹp, bởi vậy ta phải kết nối hai hệ quả trái ngược nhưng không giống nhau về độ phệ của sự thay đổi nhịp tích tắc đồng hồ thời trang trên vệ tinh GPS.

Câu chuyện ẩn dụ từ thức thăm Thiên thai rồi trở về vắt hương thấy cảnh vật đổi thay nhiều, thời hạn dưới nai lưng trôi thừa nhanh, một kịch phiên bản Đông phương của nghịch lý hai anh em sinh đôi, người anh cất cánh với vận tốc cao trong vài năm rồi quay trở lại thấy em ngơi nghỉ lại nhà hiện nay đã thành lão, tốt chuyện khoa học đến đại chúng trong phòng vật lý G. Gamow với nhân đồ dùng M. Tompkins sinh sống trong một nhân loại tưởng tượng ở đó tốc độ ánh sáng chỉ bằng 30 km/h, có bà bầu đặt một bé sơ sinh bên trên vòng ngựa gỗ cù với vận tốc xấp xỉ bằng vận tốc ánh sáng, còn nhỏ sinh đôi đặt tại dưới đất mặt cạnh. Gạt bỏ năm sau quay trở lại thấy bé xíu trên vòng ngựa gỗ vẫn gần như xưa còn hai bà mẹ con trên đất già thêm là một ẩn dụ khác7.

B- Hệ quả hoàn hảo và tuyệt vời nhất thứ nhì là phương trình E = γmc² của cầm cố kỷ liên kết tích điện E khổng lồ với trọng lượng m nhỏ dại bé của đồ gia dụng chất, trong một gam khối lượng tiềm ẩn một năng lượng tương đương với nhu cầu dinh chăm sóc của vài ba chục ngàn người trong vài ba năm!

1-Vài điều sơ đẳng trong cơ học tập cổ điển

Khối lượng của đồ chất là 1 trong những khái niệm đặc trưng trong công nghệ mà thế giới đã ý thức rất nhiều về nó ngay từ thuở các nền văn hiến nghìn xưa. Một giải pháp định tính, ta hãy mở màn với cơ học cổ xưa của Galilei và Newton theo đó khối lượng m của một vật dụng được đọc như bản tính nội tại của nó, m gói ghém “số lượng của thiết bị chất” kết tụ trong đó.

Còn năng lượng? bên dưới dạng sức hot – cơ mà ta hotline là sức nóng năng – có lẽ con bạn đã cảm nhận ra khái niệm năng lượng ngay từ bỏ thuở họ sáng tạo ra lửa, chưa hẳn ngẫu nhiên mà ngữ điệu calorie vẫn được dùng để chỉ định đơn vị năng lượng. Nó là căn nguyên tác đụng lên vạn vật để triển khai chúng thay đổi dưới mọi hình thái hoặc làm chúng di chuyển. Như vậy tích điện chẳng thể bóc rời khỏi lực và để diễn đạt chính xác thì tích điện được quan niệm như tích số của vectơ lực F nhân với vectơ chiều dài x nhưng mà vật dịch rời do tác động của F áp đặt lên trên nó. Thực vậy, tích số F. X trước hết call là công làm ra bởi lực F ảnh hưởng lên một vật. Đó là 1 định nghĩa phải chăng vì nó chỉ định và hướng dẫn cái sức lực lao động mà lực buộc phải bỏ ra để triển khai cho vật di chuyển một đoạn chiều lâu năm x với tốc độ v = dx/dt. Lúc ta mang mang lại vật dòng công sức của F thì đồ gia dụng đó phải đổi khác bởi bởi nó thu dìm một năng lượng E, với ta định nghĩa năng lượng mà vật dụng thu được đó là công của lực F mang đến nó. Vậy E = F. X, và dưới dạng vi phân dE = F.dx, ta suy ra là sự chuyển đổi theo thời gian t của năng lượng dE /dt đó là tích số F.v, dE/ dt = F.v mà lại ta sẽ dùng để tìm ra phương trình E = γmc2 của vậy kỷ.

Xem thêm: +50 Mẫu Bàn Học Sinh Liền Giá Sách Gỗ Tự Nhiên Ghs, Bàn Học Sinh Có Giá Sách Gỗ Tự Nhiên Ghs

Trong cơ học tất cả hai loại năng lượng thường được nhắc đến: gắng năng và hễ năng. Thí dụ trước tiên là trọng tải Fg = mg (với g = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|g| ≈ 9.81m/s2 hướng đẫn gia tốc làm cho bởi trọng ngôi trường của trái đất). Sức hút Fg kéo trọng lượng m rơi từ bên trên một độ dài h = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|x| xuống phương diện đất. Bởi Fg và x song song và c‌‌ùng hướng về trung trọng tâm trái đất bắt buộc Fg. X = mgh. Đại lượng mgh call là gắng năng của vật đặt tại độ cao h so với phương diện đất. Ở ngẫu nhiên một điểm cao h làm sao đó, vật sở hữu sẵn một tích điện mgh tiềm tàng, một thế năng. Thí dụ đồ vật hai là với bất kể một lực F như thế nào ta cũng có dE = F.dx, khi cụ dx = vdt và F = mdv/dt, ta có dE = mv.dv, làm tích phân ta được E = (½)mv2, với v = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|v|. Ta gọi tích điện (½)mv2 là đụng năng. Một vật cân nặng m vận động với tốc độ v sở hữu động năng (½) mv2. Một thiết bị đứng lặng (v = 0) rơi từ một độ cao h, khi chạm đất nó có gia tốc v = (2gh)½, vắt năng mgh chuyển sang cồn năng (½) mv2, minh họa định khí cụ bảo toàn năng lượng.

Sau hết, ta định nghĩa vectơ xung lượng p = mv cùng phương trình cơ phiên bản F = mdv/dt nay viết bên dưới dạng F = dp/dt.

2- Hai tuyến đường đến E = γmc2

Tại sao hai? Nhà vật lý kỳ tài Richard Feynman từng khích lệ là nếu có thể thì nên suy diễn, trình diễn hay minh chứng một hiệu quả khoa học nào kia theo nhiều phương thức khác nhau nhằm rọi sáng sủa vấn đề. Tập sách tuyệt vời và hoàn hảo nhất The Feynman Lectures on Physics có nhiều thí dụ diễn giảng theo vài ba cách khác biệt mà lại vấp ngã túc mang đến nhau.

Trước hết cần minh định là chỉ gồm phương trình E0= mc2 xuất xắc E = γmc2 new thực sự phản bội ánh ý nghĩa của thuyết tương đối hẹp, E biến hóa theo tốc độ của vật, động năng (½) mv2 là ví dụ cụ thể nhất, còn E0 là năng lượng khi đồ vật đứng im (v = 0, γ = 1). Phương trình E0 = mc2 với ΔE0 = (Δm)c2 bao gồm Einstein đã viết ra trong công trình xây dựng năm 1905. Hình như Einstein còn đề xuất cách kiểm hội chứng E0 = mc² bằng thực nghiệm, hạt nhân phóng xạ thoải mái và tự nhiên (như radium) khi mất đi một chút năng lượng ΔE0 thì khối lượng nó phải giảm đi Δm = ΔE0/c² nhưng mà năm 1932 John Cockcroft và Ernest Walton làm việc Đại học tập Cambridge triệu chứng nghiệm .

Trong cơ học kha khá tính (hay thuyết tương đối hẹp), theo Einstein8 nhằm tránh sự mơ hồ, thậm chí nhầm lẫn về khái niệm khối lượng, ta tránh việc đưa ra hai ký kết hiệu: m(v) ≡ γm cùng m0 ≡ m(v = 0) từ đó m0 là cân nặng bất rượu cồn của một vật cùng m(v) = m0/√(1− v²⁄c²) là ‘khối lượng kha khá tính’ lúc vật hoạt động với vận tốc v. Tích số của γ với m tránh việc hiểu và truyền bá như “khối lượng thay đổi với vận tốc’’ với viết γm dưới dạng m0/√(1 –v2 /c2) trong các sách giáo khoa. Chỉ gồm một khối lượng m trong số định chế độ vật lý, ko có khối lượng m0 của vật không cử động hay khối lượng ‘tương đối tính’ m(v) hàm số của vận tốc v.

a- Henri Poincaré, nhà toán học thông thái và phổ biến Pháp, năm 1900 (trước năm ảo diệu 1905) vẫn viết ra9 E = mc2, nhưng phương pháp thiếu đồng nhất của ông để tìm ra nó khiến tác giả vẫn quên hẳn đi đến nỗi năm 1908, tía năm sau khi Einstein tìm hiểu ra E0 = mc2, Poincaré – khi so sánh một thiết bị phát xạ ánh nắng với một khẩu đại bác bỏ bắn ra một viên đạn – đang viết vào La dynamique de l’électron, Science et Méthode (1908) mấy câu sau: “Khẩu đại bác giật lùi vày viên đạn bị phun ra đã tác động ảnh hưởng trở lại. Ngôi trường hợp trang bị phóng quang lại là chuyện khác, ánh nắng phát ra chưa hẳn là trang bị chất, chính là năng lượng, mà năng lượng thì không tồn tại khối lượng’’. Qua câu trên, Poincaré dẫu tất cả viết ra E = mc2 thì ông vẫn quên nó rồi.

Poincaré tìm ra E = mc2 bằng phương pháp nào? Trước hết, ông xem xét một chùm sóng tia nắng có năng lượng E cùng xung lượng p. Theo định lý Poynting vào điện-từ thì phường ≡ |p| = E/c, điều đúng chuẩn đối cùng với photon không tồn tại khối lượng. Loại lầm của Poincaré là dùng phương trình của cơ học cổ điển p = mv (với v = c) để vận dụng cho tia nắng vì năm 1900 ông không suy ra mắt hệ số đặc trưng γ. Đó là nghịch lý vị cơ học cổ điển chỉ áp dụng cho gần như di hễ chậm, v « c. Phối kết hợp hai loại xung tương khắc là p = E/c với p. = mc, ông thấy E = mc2, do thiếu thông số γ nên công thức mang lại hệ quả không đúng là ánh sáng với tích điện E có cân nặng m = E/c2 ≠ 0. Điều kinh ngạc là ngày nay hãy còn vài người sáng tác Pháp bảo hoàng hơn vua xác minh Poincaré là người sáng tác phương trình của cố kỉnh kỷ10.

b- đề xuất nhắc điều quan trọng là vào thuyết tương đối hẹp, mỗi không-điểm x (3 nguyên tố x, y, z) nên gắn một thời-điểm t vào một thực tại không-thời gian tứ chiều Minkowski. Một tứ-vectơ không-thời gian là tập hợp có 4 nhân tố mang cam kết hiệu xμ (x0 = ct, x1, x2, x3), với x1 = x, x2 = y, x3 = z, viết gọn gàng là xμ (x0 = ct, x). Trường đoản cú tứ-vectơ xμ, ta lập một tứ-vectơ xung lượng pμ = mdxμ/dτ, và tính toán ra tư thành phần của pμ (p0 = γmc, p = γmv). Dùng định nghĩa thân quen của vectơ tốc độ v = dx/dt, vectơ tốc độ a = dv/dt, ta tính ra đẳng thức: dγ/dt = γ3(v.a)/c2

Phương trình F = dp/dt = md(γv)/dt mang đến ta F = v.a)/c2> v + a thay thế F = ma, cũng như p = v sửa chữa thay thế p = mv của cơ học cổ điển, chúng là giới hạn khi c → ∞ của cơ học kha khá tính.

c- Hai phương thức chứng minh E = γmc2.

Cách thứ nhất dựa vào dE/dt = F.v đề cập tại đoạn 1. Dùng F =<mγ3(v.a)/c2> v + a vừa thiết lập, ta có F.v = mγ3(v.a), khi phối kết hợp nó với dγ/dt = γ3(v.a)/c2, ta được F.v = mc2 dγ/dt = dE/dt và do vậy E = γmc2.

Cách trang bị hai là liên kết thành phần p0 = γmc (của tứ-vectơ xung lượng pμ) với năng lượng E, cùng xin chăm nom đến sản phẩm nguyên ML2/T2 của tích điện (ba đại lượng cơ bản, khối lượng M, chiều dài không khí L, thời hạn T). Vậy phép phân tích đồ vật nguyên bảo ta p0 = E phân chia cho một vận tốc nào đó. Ta chỉ có hai lựa chọn, đó là v giỏi c, cơ mà v không tương thích vì nó hoàn toàn có thể bằng 0 và chuyển p0 mang đến một số lượng giới hạn vô tận, vậy p0 = E/c. Với p0 = γmc, ta có E = γmc2. Gạn lọc p0 = E/c còn tương xứng với trường thích hợp v « c, bởi khi ta khai triển hệ số γm thành chuỗi (v/c)n thì ta bao gồm γmc2 ~ mc2 + (½)mv2 + (3/8)m(v4/c2 )…, ta nhận thấy γmc2 tiềm ẩn động năng (½)mv2 quen thuộc. Đó là cách thức Einstein dùng để tìm ra phương trình của nắm kỷ11. Nhì phương trình cơ bạn dạng tóm tắt thuyết kha khá hẹp là: E2 – |p|2c2 = m2c4 p = (E/c2) v

Hai phương trình trên áp dụng cho gần như trường vừa lòng của trọng lượng m bởi hay khác 0. Với photon (m = 0), phương trình trên đến ta E = pc, trùng phù hợp với định lý Poynting. Không dừng lại ở đó ánh sáng sủa (photon) vì không tồn tại khối lượng, nó chẳng lúc nào bất động, gia tốc lúc nào thì cũng bằng c, vì vậy tích số γm của photon mang dạng 0/0 và năng lượng E = γmc2 của nó có thể là bất cứ con số nào khác 0 và thực vậy. Ta lấn sân vào lãnh vực của lượng tử cùng với Max Planck: E = hν = pc. Tích điện của photon không xác định được trong thuyết tương đối và lại đến bằng tuyến phố lượng tử. Tuy khối lượng bằng 0, nhưng mà photon có năng lượng khác 0 và bằng tần số dao động ν của nó nhân với hằng số Planck h = 6.63 x 10–34 Js. Tạm dừng trước khi bước tiếp

Mời bạn để mắt đến câu ‘’di gửi đều đặn cũng như không’’của Galilei liên đới đến trường hợp đặc biệt quan trọng của vận tốc thắt chặt và cố định không biến đổi với thời gian (gia tốc = 0) trong các hệ quy chiếu cửa hàng tính, đặc trưng của thuyết kha khá hẹp. Tính từ không lớn dùng ở chỗ này để chỉ định sự chuyển động không có gia tốc này. Có lẽ Einstein tự đặt trong tiềm thức thắc mắc là các kết quả của Thuyết Tương đối sáng tạo năm 1905 sẽ biến hóa ra sao trong trường hợp di chuyển không phần đa đặn, rồi một tháng ngày 11 năm 1907 Einstein bỗng nẩy ra một phát minh mà ông coi như mãn nguyện độc nhất trong đời: một tín đồ rớt từ bên trên cao xuống không cảm xúc sức nặng nề của mình. Ông nhận biết vai trò đưa ra quyết định của trọng trường trong sự nới rộng phạm trù không gia tốc của thuyết kha khá hẹp sang phạm trù có gia tốc của thuyết tương đối rộng. Câu ‘’di chuyển mọi đặn cũng giống như không’’ của Galilei, qua ý tưởng vui lòng nhất trong đời của Einstein, nay trở thành ’’di chuyển không đều đặn chẳng không giống gì ảnh hưởng tác động của trọng lực’’đã mở màn một kỷ nguyên mới cho vật dụng lý, nới xa thuyết kha khá hẹp (hay đặc biệt) sang trọng thuyết kha khá rộng (hay tổng quát) để thay thế sửa chữa thuyết vạn vật cuốn hút của Newton, định luật cổ điển này là truờng hợp dao động gần đúng của thuyết tương đối rộng đúng mực hơn.

Ngoài ra còn có một lý do thúc đẩy Einstein không ngừng mở rộng thuyết kha khá hẹp do ông nhận ra có một mâu thuẫn giữa thuyết này (theo đó vận tốc của mọi dấu hiệu đều có hạn, kể cả ánh sáng) với luật cổ xưa vạn vật thu hút của Newton (theo đó trọng tải truyền đi với vận tốc vô hạn để vạn đồ vật hút nhau tức thì). Vậy sửa đổi luật lôi kéo Newton sao cho nhất quán với thuyết kha khá hẹp sẽ tự động giải đáp được mâu thuẫn nói trên.

Đó là điểm bắt đầu cho thuyết kha khá rộng mà chúng ta sẽ tiếp tục trong những phần sau. Mời các bạn thưởng ngọan phương trình Einstein của thuyết kha khá rộng nhưng vế trái biểu lộ hình hài cong uốn nắn của không-thời gian vào đó quản lý vạn vật, còn vế đề nghị là năng-xung lượng của vật hóa học tạo dựng nên cấu trúc đó:Rμν – (½)R gμν = (8πG/c4)Tμν

Nhà thứ lý Nhật phiên bản Yoichiro Nambu minh họa vế trái phương trình Einstein bằng thành tháp Himeji-jo ngày xưa của một thoáng không khí thanh thoát mặt bờ suối, còn vế cần bên kia ước vương vấn trong cảnh è ai vị khói than nhà máy phản ánh vật chất nặng nề!

Phụ chú

1 Hệ quy chiếu cửa hàng tính là hệ quy chiếu di chuyển với vectơ vận tốc v đều đặn (độ dài và khunh hướng của v cầm cố định, không biến đổi với thời gian, như vậy tốc độ a ≡ dv/dt = 0), kể cả v = 0. Các vectơ trong không gian ba chiều đông đảo viết dưới dạng in đậm như v, k và v ≡ |v|, k = |k|. Vectơ X gồm 3 thành phần không khí là x, y, z, ta viết gọn gàng X (x, y, z).

2 Đa tạp bốn chiều không-thời gian tất cả tung độ là trục thời hạn ct, hoành độ là không gian ba chiều với bố trục Ox, Oy, Oz. Đồ thị của phương trình s² ≡ x² + y² + z² – (ct)² trong đa tạp này là một nón ánh sáng cùng với đỉnh là một điểm T nằm ở tung độ (OT = ct), còn lòng nón là quả cầu S nửa đường kính r, cùng với r2 = x² + y² + z², nửa góc sinh hoạt đỉnh nón bởi 45°. Quỹ đạo của các tia ánh nắng (khối lượng = 0, khớp ứng với trường hợp s² = 0 vì ct = r) là vành biên của nón, nối đỉnh T với chu vi của mặt cầu, còn quỹ đạo của những vật mang khối lượng m ≠ 0 (tương ứng với trường hòa hợp s² > 0 vị v

3 Poincaré là người đầu tiên gán thương hiệu Lorentz có thể chấp nhận được hoán gửi này vì chưng Lorentz viết nó ra bên dưới dạng gần đúng năm1895 và dạng đúng mực năm 1904. Thực ra Woldemar Voigt tìm thấy năm 1887 tuy nhiên chỉ khác vì một hệ số chung toàn cục và Joseph Larmor năm 1900. Poincaré bao quát hóa hoán đưa Lorentz bằng ma trận 4 x 4 với cả bốn toạ độ x, y, z, t, thay bởi vì hai tọa độ x, t. Mặc dù biết công trình gần đúng năm 1895 của Lorentz nhưng lại Einstein khi phân tích phần nhiều khái niệm cơ bản về thời gian và không gian đã suy ra mắt phương trình hoán gửi giữa x cùng t này một cách độc đáo và khác biệt và khác những vị trên. Còn cách lý giải và thừa nhận xét ý nghĩa vật lý của sự việc hoán gửi x, t thì trả toàn khác biệt giữa Einstein và các vị tiền bối khác.

4 từ bỏ phép hoán đưa Lorentz, ta hoàn toàn có thể suy ra luật cộng trừ các gia tốc trong cơ học tương đối tính. Vận tốc w của một vật hoạt động trên tàu (hệ quy chiếu J ‘ chạy với gia tốc v đối với hệ quy chiếu J ) theo định nghĩa đó là w ≡ x’/t’. Theo cơ học cổ điển x’ = x – vt, t’ = t, thì tín đồ trên bến vẫn thấy vật di chuyển với vận tốc W ≡ x/t = (x’ + vt’)/ t’ = w + v. Cơ mà trong cơ học tương đối tính, vận tốc W đo trên bến đang phải chuyển đổi theo cách làm (I’) của phép hoán gửi Lorentz : W ≡ x/t = (x’ + vt’)/(t’ + x’v/c2) = (w + v)/ (1+ wv/c2), cần sử dụng w≡ x’/t’.

5 Một cách đơn giản cơ học kha khá tính là cơ học cổ xưa kèm thêm thông số γ, trong những phương trình mô tả cơ học Newton ta sửa chữa các đại lượng đồ lý (khối lượng m, xung lượng p…) bởi tích số của bọn chúng với γ nhằm thành cơ học tương đối tính. Cơ học truyền thống (tương ứng cùng với trường hợp các chuyển động chậm, v/c « 1 tuyệt c → ∞, γ →1) là dạng dao động của cơ học tương đối tính. 6 Michele Angelo Besso, người bạn thân thiết thuộc sở có tác dụng ở Bern, người duy độc nhất vô nhị ông cảm ơn trong công trình xây dựng để đời đăng bên trên Annalen der Physik về thuyết kha khá hẹp mà ông tò mò ra trong khi hai người đi dạo và bàn luận về bí hiểm ether ngày nhà nhật vào cuối tháng 5 năm 1905 trên đồi Gurten, xa xa dưới chân là tp Bern cổ kính. Trong bài xích đó ông khôn cùng tự tin, không còn trích dẫn bất kỳ tài liệu tham khảo nào mặc dù lúc ấy chẳng ai nghe biết ông. Chữ gläubige vào bức thư tránh việc hiểu theo nghĩa tín ngưỡng tôn giáo, mà ẩn ý xác tín vào lý trí. Bức thư gửi chưa tới một tháng thì Einstein cũng vào cõi vĩnh hằng. Mời bạn tham khảo hai chương đầu cuốn sách của Thibault Damour: đắm đuối Einstein m’était conté, Le cherche midi, 2005, và bài của Craig Callender: Is time an illusion? Scientific American, mon 6/ 2010 vị Cao chi biên dịch dưới nhan đề Thời gian phù hợp chỉ là một ảo tưởng?, tạp chí Tia sáng 19/07/ 2010 http://kemhamysophie.com/Default.aspx?tabid=111&CategoryID=2&News=3316

9 H. Poincaré, Arch. Neerland. 5, 252 (1900).

10 Jean-Paul Auffray, Einstein et Poincaré, éditions Le Pommier (1999). Jules Leveugle, La Relativité, Poincaré et Einstein, Planck, Hilbert, l’Harmattan (2004). Jean Hladik, comment le jeune et ambitieux Einstein s’est approprié la Relativité restreinte de Poincaré, Ellipses (2004). Coi sách vẫn dẫn của T. Damour về những tác trả trên.

11 mặc dù bốn nguyên tố của tứ-vectơ pμ vì phụ thuộc vào vào thông số γ đề nghị chúng đều thay đổi theo v, tuy vậy độ nhiều năm bình phương của tứ-vectơ (p0)2 – |p|2 không dựa vào vào v, nó bất biến: (p0)2 – |p|2 = m2c2. Cũng vậy, năng lượng E = γmc2 cùng xung lượng p = γmv đều biến đổi theo v mà lại E2 – |p|2c2 = m2c4 không phụ thuộc vào vào v, nó bất biến trong các hệ quy chiếu. Bất biến là điều kiện tiên quyết nhưng thuyết tương đối đòi hỏi, nếu như E ≠ γmc2 (thí dụ E = γmcv) thì ta không có một không thay đổi nào.