Các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất

Khóa học Lập trình Lập trình C++ Cấu trúc dữ liệu và giải thuật Tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thị (Dijikstra)

Dẫn nhập

Trong bài học trước, chúng ta đã cùng nhau đi tìm hiểu về thuật toán Floyd-Warshall trong tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thị. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu về một thuật toán có thể coi là thuật toán phổ biến nhất trong tìm kiếm đường đi ngắn nhất. Để biết cụ thể, hãy cùng nhau bắt đầu bài học nào!

Nội dung

Để có thể tiếp thu bài học này một cách tốt nhất, các bạn nên có những kiến thức cơ bản về:

Trong bài học ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về:

Thuật toán Dijkstra

Thuật toán Dijkstra

Bài toán đặt ra

Ta có một bài toán như sau:

Cho một đồ thị có hướng gồm

đỉnh (đánh số từ 1 đến),

cạnh có hướng và có trọng số là số nguyên không âm. Cho một đỉnh, hãy tìm độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnhđến tất cả các đỉnh còn lại. Nếu như không tồn tại đường đi giữa hai đỉnh, in ra -1.

Bạn đang xem: Các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất

Input:

Dòng : Gồm 3 số nguyênlần lượt thể hiện cho số đỉnh của đồ thị, số cạnh của đồ thị và đỉnh yêu cầuDòng : Mỗi dòng gồm 3 số nguyênthể hiện một cạnh có hướng nối từ đỉnhđến đỉnhvà có trọng số

Output:

Gồm dòng, dòng thứthể hiện độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnhđến đỉnh

Ví dụ:

Input	Output
7 8 1 1 2 4 1 3 5 1 4 2 4 2 1 4 6 4 3 5 3 6 5 1 1 5 8	0 3 5 2 7 6 -1

Giải thích ví dụ:

Đây là đồ thị minh hoạ cho ví dụ trên

Ý tưởng

Ý tưởng của Dijkstra về cơ bản khá giống với thuật toán Floyd. Với một cạnh nối liền hai đỉnh

và, ta sẽ so sánh độ dài đường đi trước đâyvới đường.

Tại mỗi bước, ta sẽ chọn ra một đỉnh

mà ta biết chắc chắn đường đi từlà đường đi ngắn nhất. Sau đó, ta sẽ xét tất cả các đỉnhmà có cạnh liên kết trực tiếprồi tối ưu đường đidựa trên đường đi.

Cách cài đặt

Trước hết, để thể hiện một cạnh, ta sẽ sử dụng các vector với kiểu dữ liệupair. pair là một cấu trúc cho phép ta lưu trữ hai phần tử. Ta có thể truy cập vào 2 phần tử củapair thông qua hai phương thứcfirst và second.

Ví dụ:

#includeusing namespace std;int main(){ pair myPair<2>; // Có 2 cách khởi tạo pair myPair<0> = make_pair(1, 2); myPair<1> = {2, 3}; cout Ta sẽ cần khởi tạo hai mảng với ý nghĩa như sau:

dist: độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh nguồns đến đỉnh u. Ban đầu dist = ∞ với mọiu, riêng dist = 0 mark: đánh dấu đỉnhu đã được xét hay chưa. Ban đầu các phần tử trong mảng có giá trịfalse

Lưu ý: Trong máy tính không tồn tại khái niệm ∞ (vô cùng). Do đó, mỗi khi viết ∞, ta sẽ hiểu đây là một giá trị đủ lớn để lớn hơn giá trị lớn nhất có thể của mảng đó.

cạnh, mỗi cạnh có trọng số không quá

nên độ dài một đường đi không quá

. Giá trị

khi này có thể là bất cứ giá trị nào lớn hơn hoặc bằng

.

Thuật toán sẽ diễn ra như sau:

Chọn một đỉnh u sao cho mark = false và dist nhỏ nhấtVới đỉnh u mà ta đã chọn ở trên, ta sẽ xét các đỉnhv có cạnh nối trực tiếp từ u. Nếudist + (độ dài cạnh u-v) Khi xét xong tất cả các đỉnh có cạnh nối trực tiếp từu, đánh dấu mark = true tức là đỉnhu đã xử lý xong.

Minh hoạ

Mình sẽ minh họa thuật toán bằng một đồ thị cơ bản sau với đỉnh nguồn là đỉnh 1:

Đầu tiên, dist = <0, ∞, ∞, ∞> vàmark = <0, 0, 0, 0> (ta coi 0 là false và 1 là true).Ta chọn u = 1 do dist<1> = 0 nhỏ nhất và thoả mãn mark<1> = 0. Xét các đỉnhv có cạnh nối trực tiếp từ đỉnh 1.Xét v = 2, ta thấy dist<1> + độ dài cạnh (1, 2) = 3 Xét v = 3, ta thấy dist<1> + độ dài cạnh (1, 3) = 6 Do không còn đỉnh nối từ đỉnh 1 nên ta kết thúc xét đỉnh 1 và đánh dấumark<1> = 1 Khi này, dist = <0, 3, 6, ∞> vàmark = <1, 0, 0, 0> Ta chọn u = 2 do dist<2> = 3 nhỏ nhất và thoả mãn mark<2> = 0. Xét các đỉnhv có cạnh nối trực tiếp từ đỉnh 2.Xét v = 3, ta thấy dist<2> + độ dài cạnh (2, 3) = 4 Xét v = 4, ta thấy dist<2> + độ dài cạnh (2, 4) = 10 Do không còn đỉnh nối từ đỉnh 2 nên ta kết thúc xét đỉnh 2 và đánh dấumark<2> = 1 Khi này, dist = <0, 3, 4, 10> vàmark = <1, 1, 0, 0> Ta chọn u = 3 do dist<3> = 4 nhỏ nhất và thoả mãn mark<3> = 0. Xét các đỉnhv có cạnh nối trực tiếp từ đỉnh 3.Xét v = 4, ta thấy dist<3> + độ dài cạnh (3, 4) = 8 Do không còn đỉnh nối từ đỉnh 3 nên ta kết thúc xét đỉnh 3 và đánh dấumark<3> = 1 Khi này, dist = <0, 3, 4, 8> vàmark = <1, 1, 1, 0> Ta chọn u = 4 do dist<4> = 0 nhỏ nhất và thoả mãn mark<4> = 0. Xét các đỉnhv có cạnh nối trực tiếp từ đỉnh 4.Do không còn đỉnh nối từ đỉnh 4 nên ta kết thúc xét đỉnh 4 và đánh dấumark<4> = 1 Do tất cả các đỉnh đã được đánh dấu nên thuật toán kết thúc và ta thu đượcdist = <0, 3, 4, 8>

Code cơ bản

Code

#includeusing namespace std;typedef long long ll;const int MaxN = 1 + 1e2;const ll INF = 1e18;int n, m, s;bool mark;ll dist;vector> adj;void Dijkstra(int s){ fill(dist + 1, dist + n + 1, INF); dist = 0; for(int i = 1 ; i > n >> m >> s; for(int i = 0 ; i > u >> v >> w; adj.push_back({v, w}); } Dijkstra(s); for(int i = 1 ; i Độ phức tạpTa thấy trong đoạn code trên, ta có một vòng lặp ngoài cùng có độ phức tạp

. Trong vòng lặp đó lại tồn tại 2 vòng lặp con. Vòng lặp thứ nhất để tìm ra đỉnh códist nhỏ nhất sẽ mất độ phức tạp

. Tuy nhiên, vòng lặp thứ hai để tìm các đỉnh có cạnh kề với đỉnhu sẽ chỉ mất

trongcả bài toán. Lí do là vì mỗi cạnh sẽ chỉ được duyệt qua duy nhất 1 lần.

Do đó, độ phức tạp tổng thể của chương trình là

.

Xem thêm: Hướng Dẫn Sử Dụng Hàm Sumif Trong Excel: Cách Sử Dụng Và Ví Dụ Cụ Thể

Code cải tiến

Ý tưởng

Ta thấy với độ phức tạp trên thì bài toán vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn và lời giải sẽ cần được tối ưu thêm. Bây giờ hãy cùng xem xét các yếu tố có thể tối ưu được của bài toán.

Vòng lặp dùng để duyệt và xét tất cả các cạnh sẽ luôn phải xảy ra. Do đó, vòng lặp này không thể tối ưu thêm nữa.

Ta sẽ xét đến vòng lặp dùng để tìm ra đỉnh u códist nhỏ nhất. Ta thấy ngay việc dùng vòng lặp để tìm ra phần tử nhỏ nhất trong một tập hợp là một điều khá “ngu ngốc”. Ở những bài học trước, mình đã giới thiệu cho các bạn về một cấu trúc dữ liệu có thể tìm ra phần tử nhỏ nhất nhanh chóng. Các bạn có còn nhớ nó không? Nó chính là priority_queueđó.

Ta sẽ dùng priority_queuelưu trữ các pair, trong đó giá trịfirst là độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến đỉnhu, giá trị second là đỉnh u. Khipriority_queue so sánh cácpair nói chung thì nó sẽ so sánh giá trịfirst trước rồi mới đến giá trị second. Do đó ta để độ dài đường đi ở giá trịfirst vì khi đó đỉnh có dist<> nhỏ nhất sẽ được lấy ra trước.

Code

#includeusing namespace std;typedef long long ll;const int MaxN = 1 + 1e2;const ll INF = 1e18;int n, m, s;bool mark;ll dist;vector> adj;void Dijkstra(int s){ fill(dist + 1, dist + n + 1, INF); dist = 0; priority_queue, vector>, greater>> pq; pq.push({0, s}); while(!pq.empty()){ int u = pq.top().second; pq.pop(); if(mark) continue; mark = true; for(auto e : adj){ int v = e.first; ll w = e.second; if(dist > dist + w){ dist = dist + w; pq.push({dist, v}); } } }}int main(){ freopen("CTDL.inp","r",stdin); freopen("CTDL.out","w",stdout); cin >> n >> m >> s; for(int i = 0 ; i > u >> v >> w; adj.push_back({v, w}); } Dijkstra(s); for(int i = 1 ; i Độ phức tạpKhi này, độ phức tạp của thuật toán sẽ giảm còn

.

Vấn đề kì sau

Để có thể chuẩn bị tốt hơn cho bài học kế tiếp, mình muốn đặt ra cho các bạn một câu hỏi:

Ở đề bài mình nêu ở trên, các cạnh đều có trọng số không âm. Điều gì có thể sẽ xảy ra với thuật toán Dijkstra nếu các cạnh có trọng số âm?

Kết luận

Qua bài này chúng ta đã nắm về Tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thịvới thuật toán Dijkstra.

Bài sau chúng ta sẽ tìm hiểu về Tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thịvới thuật toán Bellman-Ford.

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết. Hãy để lại bình luận hoặc góp ý của mình để phát triển bài viết tốt hơn. Đừng quên “Luyện tập – Thử thách – Không ngại khó”.

Thảo luận

Nếu bạn có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc gì về khóa học, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần BÌNH LUẬN bên dưới hoặc trong mục HỎI & ĐÁP trên thư viện kemhamysophie.com.com để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng.